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固有値問題 三元連立方程式で、以下のように記述した。
これをスマートに行列とベクトルの形で、しかも固有値問題が見えるようにすると、下式になろう。
さらにこのように書くと、
もっとスマートになる。ところで、固有値問題と言うからには、
このように表記するほうが、自然であろう。数学的には、これでも悪くはないが、固有値λの物理的意味を明らかにするのが面倒くさい。ｋを臨界固有値と言ったり、中性子増倍係数と呼んだりするが、臨界固有値とは数式の数学的意味で、中性子増倍係数は原子炉の物理的意味と考えればよい。 いずれにしても、オーソドックスな解法としては、
どちらにしろ、三次方程式になるから固有値を解析的に求めることができる。固有値は３つあるはずであるから、それらに関する固有解を求めてそれらの合成が最終解になるのは、大学レベルの数学をマスターした人であれば誰でも思いつくことである。 臨界問題を単なる数学の応用問題ととらえる人はそれでよいだろう。これを実際の原子炉の問題ととらえたら、この解法には限界があることがわかるはずである。今は、単純化して三元連立方程式になっているが、厳密には連続無限次元連立方程式であるし、連続性は無視しても数万次元の連立方程式となる場合もある。このような大規模問題にも適用できるような解法も視野に入れれば、もっと興味深い解法の学習にもつながる。 原子炉の世界での解法を簡単に説明する。 固有値ｋは中性子増倍率であるから、核分裂で発生した中性子の数と放射捕獲反応と核分裂反応で吸収された中性子数の比となる。
のように、収束するまで反復計算する。収束が認められた
同様に、収束するまで反復計算する。最終的にｋが収束するまで繰り返す。 臨界固有値を設定した段階での反復計算を内部反復（Inner Iteration）と言い、固有値の収束のための反復計算を外部反復（Outer Iteration）と言う。ここまでくると、カンのよい人はFredholmの積分方程式と似ていると思われるはずである。そのとおりである。数学的手法に興味がある人は、Fredholmの積分方程式を見てもらいたい。 原子炉理論では、数学的興味もさることながら、計算量の低減が大きな課題となる。Inner Iterationでは逆行列を求め、直接法で解くように記述しているが、実際にはSOR法やCG法の反復法を用いて計算量を低減させ、Inner Iterationの計算量をできるだけ減らすようにする。 具体的に、三元連立方程式の場合を説明する。この場合は、原子炉の設計を目的としていないので、厳密に解くことに意味はない。マクロも使わないEXCELでの計算を前提としているので、計算量低減のために、どれほど大胆にやるかを感じてもらいたい。 終わり へ |
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・ウラン濃縮度 ・EXCELでできる臨界計算 ・金属ウラン体系 ・簡略化 ・高校生でも解けそうな臨界問題 |
