簡略化
中性子輸送ボルツマン方程式は、任意の体系で表したものである。ここでは、金属ウランの無限の固まりについて想定するので、かなり簡略化できる。簡略化としては、 １．
空間ｒで一定。変数ｒが消える。左辺第２項が０ ２．
中性子がウランと衝突した際に、角度分布が一定。変数Ωが消える。 ３．
弾性散乱によるエネルギー変化と角度分布を無視 （弾性散乱はないことにする） ４．
核分裂で発生する中性子数νを定数とする。 ５．
定常状態。左辺第１項が０。変数ｔが消える。
ここまで簡略化できる。ただし、まだ条件５（定常状態）を満足していない。臨界状態にあると右辺第2項の核分裂による中性子がどんどん増えて発散するので、定常になりえない。まさに原子爆弾である。 このような問題は、固有値問題で扱うことができる。 ところで、固有値問題となると首を傾げる人も出てくるであろう。固有値問題では解φの絶対値は問題とならない。右辺と左辺にどのような係数をかけても成立するからである。固有値問題とは、
満足する、
これは、100万KW出力の発電用原子炉も、0出力に近い研究用原子炉も同じということになるから、不自然な感じがするであろう。 また、時間依存の項がないのもいきなり臨界というイメージになり、不自然な感じがするかもしれない。これは、原子炉の本質的な問題であるから、詳細は、ここを見て欲しい。 結論としては、当面は出力との関係や時間依存の問題は想定しなくてもよい。これらは、臨界問題を理解してからの話題である。
答えである中性子の分布Φを求める際に、右辺第２項の核分裂項を1/ｋ倍することで、左辺と右辺が等しくなるようなｋも求める。臨界体系で中性子が増加し続ける場合には、ｋ＞１となることで、右辺と左辺を等しくできる。未臨界体系ならば、中性子は減衰するのでｋ＜１とすることで、右辺と左辺を等しくできる。 ここで、ｋを臨界固有値と言う。臨界固有値ｋは、
となるので、核分裂で発生した中性子（分子）と吸収されて消滅した中性子（分母）の比で、中性子の増倍率にあたるので、中性子増倍係数とも言う。 ｋ＞１であれば、自発核分裂等による固有の中性子源S(E)は無視できる。未臨界でもｋが１に近ければ、1/（1-k）に増幅される。例えば、ｋ＝０．9であれば１０倍に増幅されるのでS(E)は無視できる。 右辺の積分は、解析解があるとは考えられないので、エネルギーを細かく（M個に）刻んで、級数で近似する。
エネルギー幅でまとめると
M元連立方程式となる。変数がM個で式の数がMであるから、固有値問題で解くことができる。臨界固有値ｋを求めることを臨界問題とも言う。 共鳴領域までマジメに解こうとするとMは数千万の値になりかねない。また、弾性散乱によるエネルギー変化も無視できなくなる。金属ウランの無限な固まりの場合には、共鳴領域の中性子は1％程度なので、共鳴領域をクソマジメに扱う必要はない。そうすると、Mは３程度でも、そこそこ臨界問題を解くことができるので、臨界問題の真似事くらいは可能である。 |
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